高等数学公式

• 双曲正弦 $$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$

• 双曲余弦 $$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

• 双曲正切 $$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$

• 反双曲正弦 $$\operatorname{arcsinh} x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) $$

• 反双曲余弦 $$\operatorname{arccosh} x=\pm\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) $$

• 反双曲正切 $$\operatorname{arctanh} x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x} $$

• $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

• $$\lim_{x\to 0}(1+\frac 1x)^x=e=2.718281828459\ldots $$

$$a^x{'}=a^x\ln x$$	$$\log_a x'=\frac{1}{x\ln a}$$
$$\sin x'=\cos x $$	$$\cos x'=-\sin x $$
$$\tan x'=\sec^2x $$	$$\cot x'=-\csc^2x$$
$$\sec x'=\sec x\tan x$$	$$\csc x'=-\csc x\cot x$$
$$\arcsin x' =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$	$$\arccos x' =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\arctan x' =\frac{1}{1+x^2}$$	$$\operatorname{arccot}x'=-\frac{1}{1+x^2}$$

莱布尼茨公式（也称为乘积法则的导数形式的一般化）是用于计算两个函数的乘积的任意阶导数的一个基本公式。这个公式在微积分学中非常重要，因为它提供了一种方法来找到复杂函数的导数，特别是当这些函数可以表示为其他更简单函数的乘积时。

公式如下：

$$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)} $$

其中：

• $$u$$ 和 $$v$$ 是关于某个变量（比如 $$x$$）的可导函数。

• $$n$$ 是一个非负整数，表示我们要求的是乘积 $$uv$$ 的 $$n$$ 阶导数。

• $$u^{(n-k)}$$ 和 $$v^{(k)}$$ 分别表示 $$u$$ 的 $$n-k$$ 阶导数和 $$v$$ 的 $$k$$ 阶导数。注意这里使用的是导数的标准记号，即函数上方的括号内是导数的阶数。

• $$C_{n}^{k}$$ 是二项式系数，也写作 $$\binom{n}{k}$$，用于加权每一项的贡献。这个系数等于 $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$，其中 $$n!$$ 表示 $$n$$ 的阶乘。

• $$\sum_{k=0}^{n}$$ 表示对 $$k$$ 从 $$0$$ 到 $$n$$ 的所有整数值进行求和。

• 弧微分公式 $$ds=\sqrt{1+y'^2}dx$$

• 平均曲率 $$\bar{K}=|\Delta\alpha/\Delta s|$$，$$\Delta\alpha $$表示从$$M$$点到$$M'$$斜线斜率倾角变化量，$$\Delta s$$ 表示 $$MM'$$ 弧长。

• $$M$$点的曲率 $$K=\lim_{\Delta s\to 0}\left| \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=\left| \frac{d \alpha}{d s}\right|=\frac{|y''|}{\sqrt{(1+y'^2)^3}} $$

• 直线$$K=0$$，半径为$$a$$的圆$$K= 1/a$$

• 矩形法 $$\int_{a}^{b} f(x) \approx \frac{b-a}{n}\left(y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right) $$

• 梯形法 $$\int_{a}^{b} f(x) \approx \frac{b-a}{n}\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right)+y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right] $$

• 抛物线法 $$\int_{a}^{b} f(x) \approx \frac{b-a}{3 n}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\cdots+y_{n-2}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+\cdots+y_{n-1}\right)\right] $$

• 功：$$W=\vec{F}\cdot\vec{s}$$ 引力：$$F=k{m_1m_2}/{r^2}$$

• 函数的平均值： $$\bar{y}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx $$

• 均方根： $$\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(t)dt} $$

向量的数量积 $$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z $$

向量的向量积 $$ \vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{@{}ccc@{}} i&j&k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ \end{array}\right|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\sin\theta $$

向量的混合积，$$\theta$$ 为锐角时，代表平行六面体的体积。 $$ \left[\vec{a}\vec{b}\vec{c}\right]=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\left| \begin{array}{@{}lcr@{}} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z\\ \end{array} \right|=|\vec{a}\times\vec{b}|\cdot|\vec{c}|\sin\theta $$

$$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}) $$

二重叉积$$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})$$得到一个向量，并且与$$\vec{B}$$和$$\vec{C}$$共面。

$$(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}) $$

将$$(\vec{C}\times\vec{D})$$看成一个矢量，利用混合积和二重叉积展开可得。

设向量$$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$$，$$\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$$ 则两个向量之间的夹角： $$\cos \theta=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}} $$

空间两点的距离： $$d=|M_1M_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} $$

点$$M_0(x_0,y_0,z_0)$$到平面$$\pi:Ax+By+Cz+D=0$$的距离为 $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

点$$M_0(x_0,y_0,z_0)$$到平面$$L_0:\frac{x-x_0}{l_0}+\frac{y-y_0}{m_0}+\frac{z-z_0}{n_0}$$的距离为，其中$$\overrightarrow{M_1P}$$为直线$$L_0$$的法向量。 $$d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\overrightarrow{M_1P}|}{\overrightarrow{M_1P}} $$

• 圆柱面 $$x^2+y^2=R^2 $$

• 椭圆柱面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

• 椭圆抛物面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz $$

• 椭球面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 $$

• 二次锥面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 $$

设$$z=f(u,v), u=\varphi(x,y), v=\phi(x,y)$$，则 $$ \begin{equation*} \left\{% \begin{array}{@{}l} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\\[5pt] \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\\ \end{array} \right. \end{equation*} $$

设$$z=f(x,y,u,v), u=\varphi(x,y), v=\phi(x,y)$$，则 $$ \begin{equation*} \left\{% \begin{array}{@{}l} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\\[5pt] \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\\ \end{array} \right. \end{equation*} $$

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

$$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz $$

设$$F(x,y)=0$$，则 $$\frac{d y}{d x}=-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)} $$

设$$F(x,y,z)=0$$，则 $$\frac{\partial z}{\partial x}=--\frac{F_x'(x,y,z)}{F_z'(x,y,z)}\quad \frac{\partial z}{\partial y}=--\frac{F_y'(x,y,z)}{F_z'(x,y,z)} $$

设曲面$$F(x,y,z)=0$$上有一点$$M(x_0,y_0,z_0)$$，则

• 过此点的法向量为 $$ \vec{n}=\left(F_{x}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{y}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), F_{z}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right) $$

• 过此点的切平面方程 $$ F_{x}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 $$

• 过此点的法线方程 $$ \frac{x-x_{0}}{F_x'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}'\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} $$

设三元函数$$u=f(x,y,z)$$在$$M_0(x_0,y_0,z_0)$$处可微，则$$u$$在点$$M_0$$沿任意方向$$\vec{l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$$存在方向导数$$\frac{\partial f}{\partial l}$$，且有 $$ \begin{align*} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{M_0}&= \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{M_0}\cos\alpha+ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{M_0}\cos\beta+ \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_{M_0}\cos\gamma\\ &=\nabla f_{M_0}\cdot\vec{l} \end{align*} $$

其中$$\nabla f_{M_0}$$是函数$$f(x,y,z)$$在点$$M_0$$出的梯度，即梯度 $$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) $$

在一重积分中，牛顿-莱布尼茨公式 $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a) $$ 反映了函数在区间的积分与其原函数在区间端点值的情况，在二重积分中，有类似的格林公式。

设闭曲线$$D$$由分段光滑的曲线$$L$$围成，$$L$$是$$D$$取正向的边界曲线，函数$$P(x,y),Q(x,y)$$在$$D$$上具有一阶连续偏导数，则有 $$\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_LP\,dx+Q\,dy $$

设空间闭区域$$\Omega$$是由分片光滑的闭曲面$$\Sigma$$围成，若函数$$P(x,y,z)$$，$$Q(x,y,z)$$，$$R(x,y,z)$$在$$\Omega$$上具有一节连续偏导数，则有

$$ \begin{align*} \iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial x}\right)dV &=\unicode{8751}_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ &=\unicode{8751}_\Sigma \left(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\right)dS \end{align*} $$

这里$$\Sigma$$时整个边界曲面$$\Omega$$的外侧，$$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$$是$$\Sigma$$在点$$(x,y,z)$$处的法向量的方向余弦。高斯公式揭示了通量与散度的关系。设向量场 $$\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k} $$ 则向量场$$\vec{A}$$通过曲面$$\Sigma$$向着指定侧的通量为积分 $$\iint_\Sigma\vec{A}\cdot\vec{n}\,dS $$ 将向量场$$\vec{A}$$的散度记作$$\nabla\cdot \vec{A}$$，有 $$\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$ 利用向量场的通量和散度的关系，高斯公式可以写成向量形式 $$\iiint_\Omega\nabla\cdot\vec{A}\,dV=\unicode{8751}_\Sigma A_n\,dS $$

设$$\Gamma$$为分段光滑的有向闭曲线，$$\Sigma$$是以$$\Gamma$$为边界的分片光滑的有向曲面，$$\Gamma$$的侧与$$\Sigma$$的正向符合右手规则，若函数$$P(x,y,z)$$，$$Q(x,y,z)$$，$$R(x,y,z)$$在曲线$$\Sigma$$上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \begin{multline*} \iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+ \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+ \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ =\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz \end{multline*} $$

斯托克斯公式揭示了环流量与旋度的关系。设向量场

$$\vec{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k} $$

其中函数$$P,Q,R$$均连续，$$\Gamma$$是$$A$$的定义域里面一条分段光滑的有向闭曲线，$$\vec{\tau}$$是$$\Gamma$$在点$$(x,y,z)$$处的单位切向量，则积分 $$\oint_\Gamma \vec{A}\cdot\vec{\tau}\,ds $$ 为向量场$$A$$沿有向闭曲线$$\Gamma$$的环流量。将向量场$$\vec{A}$$的旋度记作$$\nabla\times \vec{A}$$，有

$$ \begin{align*} \nabla\times\vec{A} &= \left| \begin{array}{@{}ccc@{}} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\[2pt] P&Q&R\\ \end{array} \right|\\ &= \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i}+ \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j}+ \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} \end{align*} $$

利用环流量与旋度的关系，斯托克斯公式可以写成向量形式 $$\iint_\Sigma\nabla\times\vec{A}\cdot\vec{n}\,dS=\oint_\Gamma\vec{A}\cdot\vec{\tau}\,ds $$

• 等比数列： $$1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q} $$

• 等差数列： $$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

• 平方和数列： $$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

• 立方和数列： $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$

设$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$$为交错级数，满足条件

• $$u_n\ge u_{n+1} $$

• $$\lim_{n\to\infty}u_n=0 $$

那么级数收敛。

设级数$$A$$，$$B$$分别为 $$A:\sum_{n=1}^\infty u_n\quad B:\sum_{n=1}^\infty |u_n| $$ 那么有

• 若级数$$B$$收敛，则称级数$$A$$绝对收敛

• 若级数$$A$$收敛，而级数$$B$$发散，则称级数$$A$$条件收敛

• 若级数$$A$$绝对收敛，那么$$A$$必定收敛

如果给定一个定义在区间$$I$$上的函数列

$$u_1(x),u_2(x),u_3(x),\cdots,u_1(x),\cdots $$

那么由函数列构成的表达式

$$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_1(x)+\cdots $$

称为定义在区间$$I$$上的函数项无穷级数，函数项级数。

对于一个确定的$$x_0\in I$$，这个级数有可能收敛也有可能发散。如果$$x_0$$使这个级数收敛，则称它为函数项级数的收敛点，否则称为发散点。由全体收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域，由全体发散点构成的集合称为函数项级数的发散域。

函数项级数中最简单常见的一类就是幂级数，它的形式为

$$A:\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots $$

如果幂级数$$A$$不是仅在$$x=0$$一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必定存在一个确定的正数$$R$$使得

• $$|x|<R$$ 时，幂级数绝对收敛

• $$|x|>R$$ 时，幂级数发散

• $$|x|=\pm R$$ 时，幂级数可能收敛，也可能发散

正数$$R$$叫做幂级数的收敛半径。$$R$$可以由下面方法得来

$$ \text{令}\lim_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho\ ,\quad\text{则}\ % R=\begin{cases} 1/\rho,&\rho\ne0\\ +\infty,&\rho=0\\ 0,&\rho=+\infty \end{cases} $$

函数$$f(x)$$在$$x_0$$的邻域$$U(x_0)$$具有各阶导数，展开为泰勒级数

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\in U(x_0) $$

的充分必要条件是$$f(x)$$在该邻域内的泰勒公式的余项$$R_n$$的极限为零，即

$$\lim_{n\to\infty}R_n=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}=0 $$

• $$\frac{1}{1-x} =1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n,x\in(-1,1)$$

• $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!},x\in(-\infty,+\infty)$$

• $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in(-\infty,+\infty)$$

• $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1},x\in(-1,1]$$

• $$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n+\cdots,x\in(-1,1)$$

• $$e^ix=\cos x+i\sin x\quad$$

• $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\quad$$

• $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} $$

当 $$x = \pi$$ 时，$$\cos \pi = -1$$，$$\sin \pi = 0$$，所以 $$e^{i\pi} = -1 + 0i = -1$$，从而得到 $$e^{i\pi} + 1 = 0$$。

• 欧拉恒等式 $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

设由正弦级数组成的函数$$f(t)$$为

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\sin (n\omega t+\varphi_n) $$

其中$$A_0,A_n,\varphi_n$$为常数，将正弦函数$$A_n\sin (n\omega t+\varphi_n)$$展开得

$$A_n\sin (n\omega t+\varphi_n)=A_n\sin n\omega t\cos \varphi_n+A_n\cos n\omega t\sin \varphi_n $$

令$$a_0/2=A_0$$, $$a_n=A_n\sin \varphi_n$$, $$b_n=A_n\cos \varphi_n$$, $$\omega=\pi/(2l)$$, $$\pi t/l=x$$得到三角级数

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx \right) $$

设$$f(x)$$是以周期为$$2\pi$$的周期函数，且能展开成三角级数，即

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx \right) $$

对等式两边在区间$$[-\pi,\pi]$$逐项积分

$$ \int_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \int_{-\pi}^\pi \cos nx\, dx+b_n \int_{-\pi}^\pi \sin nx\, dx\right) $$

由三角函数的正交性，在积分式两边依次乘$$\cos nx$$和$$\sin nx$$可求得

$$ \begin{align*} a_n&=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\, dx\ (n=0,1,2,\ldots)\\ b_n&=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\, dx\ (n=1,2,3,\ldots) \end{align*} $$

当$$a_n$$，$$b_n$$满足上述关系时，三角级数 $$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx \right) $$ 叫做函数$$f(x)$$的傅里叶级数

一般地，表示未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的结束叫做微分方程的阶。$$n$$阶微分方程的一般形式是

$$F\left(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}\right)=0 $$

需要指出，方程中$$y^{(n)}$$是必须出现的，其他变量不一定要出现。

设函数$$y=\varphi(x)$$在区间$$I$$上具有$$n$$阶连续偏导数，如果在区间$$I$$上$$y=\varphi(x)$$满足方程

$$F\left(x,\varphi(x),\varphi(x)',\varphi(x)'',\cdots,\varphi(x)^{(n)}\right)\equiv0 $$

则称$$y=\varphi(x)$$是微分方程的解。如果微分方程的解含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。给定初始条件，确定了通解中的所有任意常数后，就得到微分方程的特解。

一阶线性微分方程，如

$$y'+p(x)y=q(x) $$

它对于未知函数及其导数来讲都是一次方程，即线性的。如果方程的$$q(x)=0$$，那么方程就是齐次的，否则就是非齐次的。

$$ \begin{cases} q(x)=0&,y=Ce^{-\int p(x)dx}\\ q(x)\ne0&,y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int q(x)e^{\int p(x)}dx+C\right)\\ \end{cases} $$

对于二阶齐次线性微分方程

$$y''+py'+qy=0 $$

如果其中$$p$$，$$q$$均为常数，则称方程为二阶常系数齐次线性微分方程，若$$p$$，$$q$$不全为常数，则称其为二阶变系数齐次线性微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法如下

• 写出微分方程的特征方程$$r^2+pr+q=0$$

• 求出特征方程的两个根$$r_1, r_2$$

• 根据下表写出通解。

特征方程的根$$r_1,r_2$$	微分方程通解
不等实根$$r_1\ne r_2$$	$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$
相等实根$$r_1 = r_2$$	$$y=\left(C_1+C_2 x\right)e^{r_1x}$$
共轭复根$$r_{1,2} = \alpha \pm \beta i$$	$$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x +C_2\sin \beta x\right)$$

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为

$$y''+py'+qy=f(x) $$

其通解可以归结为对应的齐次方程$$y''+py'+qy=0$$的通解和其本身的一个特解。具体解法参考下面。

齐次方程的通解$$y_h(x)$$形式

不同特征根对应的通解

特征根 $$r$$	通解 $$y_h(x)$$
单实根	$$e^{rx}$$
$$r$$重实根	$$\left(C_{r-1}x^{r-1}+C_{r-2}x^{r-2}+\cdots+C_1x+C_0\right)e^{rx}$$
共轭复根$$r_{1,2}=\alpha\pm\beta j$$	$$e^{\alpha x}[C\cos\beta x+D\sin \beta x]$$
$$r$$重共轭复根	$$\left(A_{r-1}x^{r-1}\cos(\beta x+\theta_{r-1})+\cdots+A_0\cos(\beta x+\theta_{0})\right)$$

非齐次方程的特解$$y_p(x)$$形式

不同激励对应的特解

激励 $$f(x)$$	特解 $$y_p(x)$$
$$x^m$$	$$P_mx^m+P_{m-1}x^{m-1}+\cdots+P_1x+P_0$$	所有特征根不相等
	$$x^r\left(P_mx^m+P_{m-1}x^{m-1}+\cdots+P_1x+P_0\right)$$	有$$r$$重相等特征根
$$e^{\alpha x}$$	$$Pe^{\alpha x}$$	$$\alpha$$ 不等于特征根
	$$(P_1x+P_0)e^{\alpha x}$$	$$\alpha$$等于特征单根
	$$P_rx^r+P_{r_1}x^{r_1}+\cdots+P_1x+P_0$$	$$\alpha$$等于$$r$$重特征单根
$$\cos(\beta x)$$或$$\sin(\beta x)$$	$$ P\cos\beta x+Q\sin \beta x$$	所有特征根不相等

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

对于一个在实数或复数域上的n次可微函数$$f(x)$$，其泰勒公式可以表示为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$$

其中，$$a$$ 是展开点的值，$$n$$ 是展开的阶数，$$R_n(x)$$ 是泰勒公式的余项，表示泰勒多项式与原函数之间的误差。

当 $$a = 0$$ 时，泰勒公式又称为麦克劳林公式（Maclaurin's formula）：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

该不等式表述了两组数的线性组合与它们的加权几何平均数之间的关系。

对于任意实数序列 $$\{a_i\}$$ 和 $$\{b_i\}$$（其中 $$i=1,2,...,n$$），柯西不等式可以表述为：

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)$$

等号成立当且仅当序列 $$\{a_i\}$$ 和 $$\{b_i\}$$ 线性相关，即存在一个常数 $$k$$ 使得对于所有 $$i$$，都有 $$a_i = k b_i$$。

在向量空间中，柯西不等式可以推广为两个向量的点积与它们的模之间的关系。对于任意向量 $$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}$$，有：

$$|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}||$$

其中，$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$$ 表示向量的点积，$$||\mathbf{u}||$$ 和 $$||\mathbf{v}||$$ 分别表示向量的模。等号成立当且仅当向量 $$\mathbf{u}$$ 和 $$\mathbf{v}$$ 共线。

牛顿-莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理，是微积分中的一个重要公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。简单来说，这个公式表达了一个连续函数在给定区间上的定积分等于这个函数的任意一个原函数在相同区间的增量。

公式内容如下：

如果函数 $$F(x)$$ 是函数 $$f(x)$$ 的一个原函数，即 $$F'(x) = f(x)$$，那么对于任意实数 $$a$$ 和 $$b（a < b）$$，有：

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

这个公式实际上说明了定积分 $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ 可以通过求原函数 $$F(x)$$ 在区间 $$[a, b]$$ 上的增量 $$F(b) - F(a)$$ 来计算。

牛顿-莱布尼茨公式得名于艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨，他们两位数学家都独立发展出了这个公式。这个公式极大地简化了定积分的计算，并为微积分的发展奠定了坚实的基础。